偏相关系数 和 复相关系数 是统计学中用于衡量变量之间关系的两个重要概念。

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偏相关系数

偏相关系数（Partial Correlation Coefficient）用于衡量在控制其他变量影响的情况下，两个变量之间的净相关性。换句话说，偏相关系数可以剔除其他变量的干扰，更准确地反映两个变量之间的真实关系。

计算公式

假设有三个变量 $X$、$Y$ 和 $Z$，想要计算 $X$ 和 $Y$ 之间的偏相关系数，同时控制 $Z$ 的影响。偏相关系数 $r_{XY.Z}$ 的计算公式如下：

$$r_{XY.Z}=\frac{r_{XY}-r_{XZ}\cdot r_{YZ}}{\sqrt{(1-r_{XZ}^2)(1-r_{YZ}^2)}}$$

其中：

• $r_{XY}$ 是 $X$ 和 $Y$ 之间的简单相关系数。
• $r_{XZ}$ 是 $X$ 和 $Z$ 之间的简单相关系数。
• $r_{YZ}$ 是 $Y$ 和 $Z$ 之间的简单相关系数。

解释

偏相关系数的值介于 -1 和 1 之间。正值表示 $X$ 和 $Y$ 之间存在正向关系，负值表示存在负向关系。值越接近 1 或 -1，表示关系越强；值越接近 0，表示关系越弱。

偏相关系数

例子

假设正在研究学生的数学成绩（$X$）、阅读成绩（$Y$）和学习时间（$Z$）之间的关系。想要知道数学成绩和阅读成绩之间的净相关性，剔除学习时间的影响。

1. 数据收集：收集一组学生的数学成绩、阅读成绩和学习时间的数据。假设有以下数据：

   • 数学成绩 $X$：80, 85, 90, 75, 95
   • 阅读成绩 $Y$：70, 75, 80, 65, 85
   • 学习时间 $Z$：10, 12, 14, 8, 16

2. 计算简单相关系数：

   • $r_{XY}$：使用皮尔逊相关系数公式计算 $X$ 和 $Y$ 之间的相关系数。
     $$r_{XY}=\frac{\sum (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{\sqrt{\sum (X_i-\bar{X}{)}^2\sum (Y_i-\bar{Y}{)}^2}}$$
     计算结果 $r_{XY}=0.98$。
   • $r_{XZ}$：计算 $X$ 和 $Z$ 之间的相关系数。
     $$r_{XZ}=\frac{\sum (X_i-\bar{X})(Z_i-\bar{Z})}{\sqrt{\sum (X_i-\bar{X}{)}^2\sum (Z_i-\bar{Z}{)}^2}}$$
     计算结果 $r_{XZ}=0.97$。
   • $r_{YZ}$：计算 $Y$ 和 $Z$ 之间的相关系数。
     $$r_{YZ}=\frac{\sum (Y_i-\bar{Y})(Z_i-\bar{Z})}{\sqrt{\sum (Y_i-\bar{Y}{)}^2\sum (Z_i-\bar{Z}{)}^2}}$$
     计算结果 $r_{YZ}=0.96$。

3. 计算偏相关系数：
   $$r_{XY.Z}=\frac{r_{XY}-r_{XZ}\cdot r_{YZ}}{\sqrt{(1-r_{XZ}^2)(1-r_{YZ}^2)}}$$
   代入数值：
   $$r_{XY.Z}=\frac{0.98-0.97\cdot 0.96}{\sqrt{(1-0.97^2)(1-0.96^2)}}=0.24$$

这意味着在控制学习时间的影响后，数学成绩和阅读成绩之间存在较弱但显著的正相关关系。

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复相关系数

复相关系数（Multiple Correlation Coefficient）用于衡量一个变量与一组其他变量之间的线性相关程度。复相关系数通常用于多元回归分析中，表示因变量与多个自变量之间的总体相关性。

计算公式

假设有一个因变量 $Y$ 和一组自变量 $X_1,X_2,\dots ,X_k$，复相关系数 $R_{Y.X1X\mathrm{2...}Xk}$ 的计算公式如下：

$$R_{Y.X1X\mathrm{2...}Xk}=\sqrt{1-\frac{SSR}{SST}}$$

其中：

• $SSR$ 是回归平方和（Sum of Squares due to Regression）。
• $SST$ 是总平方和（Total Sum of Squares）。

解释

复相关系数的值介于 0 和 1 之间。值越接近 1，表示因变量 $Y$ 与自变量组 $X_1,X_2,\dots ,X_k$ 之间的线性关系越强；值越接近 0，表示关系越弱

例子

假设正在研究房价（$Y$）与房屋面积（$X_1$）、地理位置（$X_2$）和房龄（$X_3$）之间的关系。想要知道房价与这三个因素的总体相关性。

1. 数据收集：收集一组房屋的房价、面积、地理位置和房龄的数据。假设有以下数据：

   • 房价 $Y$：200, 250, 300, 150, 350
   • 房屋面积 $X_1$：100, 120, 140, 80, 160
   • 地理位置 $X_2$：5, 7, 9, 3, 11
   • 房龄 $X_3$：10, 8, 6, 12, 4

2. 多元回归分析：进行多元回归分析，得到回归平方和 $SSR$ 和总平方和 $SST$。

   • $SSR$：回归平方和，表示模型解释的变异量。
   • $SST$：总平方和，表示总变异量。

   假设通过多元回归分析得到 $SSR=25000$ 和 $SST=30000$。

3. 计算复相关系数：
   $$R_{Y.X1X2X3}=\sqrt{1-\frac{SSR}{SST}}$$
   代入数值：
   $$R_{Y.X1X2X3}=\sqrt{1-\frac{25000}{30000}}=\sqrt{1-0.833}=\sqrt{0.167}=0.41$$

这意味着房价与房屋面积、地理位置和房龄之间存在中等程度的线性关系。

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总结

• 偏相关系数：用于衡量在控制其他变量影响的情况下，两个变量之间的净相关性。
• 复相关系数：用于衡量一个变量与一组其他变量之间的线性相关程度。

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